Question

设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的范围．
（3）求证：．

Answer

（1）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；
（2）先将原来的恒成立问题转化为，设，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用导数研究g（x）在（0，+∞）上单调性，求出函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．
（3）由（2）知，当x＞1时，时，成立．不妨令，得出，再分别令k=1，2，…，n．得到n个不等式，最后累加可得．
【解析】
（1）-----------------------（2分）
由题设，
∴
∴1+a=1，∴a=0．-------------------------------（4分）
（2），∀x∈（1，+∞），f（x）≤m（x-1），即
设，即∀x∈（1，+∞），g（x）≤0．
-------------------------------------（6分）
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾．-----------------（8分）
②若m＞0方程-mx2+x-m=0的判别式△=1-4m2
当△≤0，即时，g'（x）≤0．
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．-------------------------------------------（9分）
当时，方程-mx2+x-m=0，其根，，
当x∈（1，x2），g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾．
综上所述，．------------------------------------------------------------------------（10分）
（3）由（2）知，当x＞1时，时，成立．
不妨令
所以，----------------------（11分）
---------------------（12分）
累加可得即------------------------（14分）