Question

如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积．

Answer

（1）可由三角形的中位线定理得到线线平行，进而得到线面平行．
（2）先证明MD⊥底面BCD，进而可计算出体积．
（1）证明：∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD为△PAB的中位线，∴MD∥AP．
而AP⊂平面PAC，MD⊄平面PAC，
∴MD∥平面PAC．
（2）【解析】
∵△PMB为正三角形，PD=DB，∴MD⊥PB．
∵MD∥AP，AP⊥PC，∴MD⊥PC．
又PC∩PB=P，∴MD⊥平面PBC．即MD为三棱锥M-BCD的高．
由AB=20，∴MB=10，BD=5，∴MD=5．
在Rt△PCB中，由勾股定理得PC==2．
于是S△BCD=S△BCP×==．
∴V三棱锥D-BCM=V三棱锥M-BCD==10．