Question

x函数f（x）=2sinx-πlnx（x∈（O，π））的零点，x₁＜x₂，则
①x∈（1，e）；
②x∈（1，π）；
③f（x1）-f（x2）＜0；
④f（x1）-f（x2）＞0．
其中正确的命题为（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer

根据端点函数值的正负，根据函数的零点判定定理判断是否存在零点，来判断①②是否正确；
求出函数的导数，判断导数的正负，从而判断函数的单调性，来判断③④是否正确．
【解析】
∵f（1）=2sin1-πln1=2sin1＞0，f（e）=2sine-π＜0，
∵f（x）为连续函数且f（1）•f（e）＜0，根据函数的零点判定定理，在（1，e）内存在零点，
又∵f′（x）=2cosx-，当x∈（0，]时，2cosx＜2，＞2，
∴f′（x）＜0；
当x∈（，π）时，cosx＜0，∴f′（x）＜0，
∴函数在（0，π）上是减函数，
故①④正确．
故答案是①④．