Question

△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则 cosA+cosC=    ．

Answer

由题意可得 2b=a+c，设C为最大角，则A为最小角，可得C=2A，且 0＜A＜．再由正弦定理可得2sin3A=sinA+sin2A，
化简可得 2cosA=5-8sin2A=5-8（1-cos2A ），解得cosA 的值，即可得到cosA+cosC的值．
【解析】
△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．
设C为最大角，则A为最小角，再由最大角是最小角的2倍，可得C=2A，且 0＜A＜．
再由正弦定理可得 2sinB=sinA+sin2A，∴2sin（π-3A）=sinA+sin2A，即2sin3A=sinA+sin2A，
2（3sinA-4sin3A）=sinA+2sinAcosA，化简可得 2cosA=5-8sin2A=5-8（1-cos2A ），
解得cosA=，cosA=-（舍去）．
则 cosA+cosC=cosA+cos2A=cosA+2cos2A-1=+2×-1=，
故答案为 ．