Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD=．
（I ）求证：平面PAB丄平面PCD；
（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer

（I）利用ABCD的底面是矩形，可得CD⊥AD，再利用面面垂直的性质及侧面PAD⊥底面ABCD，可得CD⊥PA．由已知可得PA⊥PD，进而得到PA⊥平面PCD．利用面面平行的判定定理即可证明平面PAB⊥平面PCD．
（II）如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A-xyz．利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．
（Ⅰ）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA．
又∠APD=，即PA⊥PD，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．
因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．
（Ⅱ）【解析】
如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A-xyz．
设AB=2，P（0，a，b）（a＞0，b＞0），
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．
由PA⊥PD，=（0，-a，-b），=（0，2-a，-b），
得-a（2-a）+b2=0．①
因为PB=PC，所以22+a2+b2=22+（2-a）2+b2．②
由①，②得a=1，b=1．
由（Ⅰ）知，=（0，-1，-1）是面PCD的一个法向量．
设面PBC的一个法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，
又=（2，-1，-1），=（0，2，0），
所以取=（1，0，2）．
因为cos＜，＞=-，又二面角B-PC-D为钝角，
所以二面角B-PC-D的余弦值-．