Question

已知椭圆C₁：和动圆，直线l：y=kx+m与C₁和C₂分别有唯一的公共点A和B．
（I）求r的取值范围；
（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C₂的方程．

Answer

（Ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，联立直线方程和圆的方程，由直线和椭圆及直线和圆都有唯一公共点，利用判别式等于0得到k与r的关系k2=，由k2≥0求解r的取值范围；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的方程求出A，B两点的横坐标，写出AB两点间的距离，利用k，m，r之间的关系把两点间的距离转化为含有r的函数式，利用基本不等式求|AB|的最大值，并求出此时圆 C2的方程．
【解析】
（Ⅰ）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0．
由于l与C1有唯一的公共点A，故△1=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）=0，
从而m2=1+4k2 ①
由，得（1+k2）x2+2kmx+m2-r2=0．
由于l与C2有唯一的公共点B，故△2=4k2m2-4（1+k2）（m2-r2）=0，
从而m2=r2（1+k2） ②
由①、②得k2=．
由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范围是[1，2）．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）的解答可知
x1=-=-，x2=-=-．
|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2=（1+k2）•=•k2•（4-r2）2
=•（4-r2）2=，
所以|AB|2=5-（r2+）（1≤r＜2）．
因为r2+≥2×2=4，当且仅当r=时取等号，
所以当r=时，|AB|取最大值1，此时C2的方程为x2+y2=2．