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己知函数f(x)=(mx+n)e-x在x=1处取得极值e-1 (I )求函数f(...

己知函数f(x)=(mx+n)e-x在x=1处取得极值e-1
(I )求函数f(x)的解析式,并求f(x)的单调区间;
(II )当.x∈(a,+∞)时,f(2x-a)+f(a)>2f(x),求a的取值范围.
(Ⅰ)求出函数的导函数,由函数f(x)=(mx+n)e-x在x=1处取得极值e-1,得到f(1)=e-1,f′(1)=0,联立后求得m和n的值,则函数解析式可求,代入导函数后由导函数大于0和导函数小于0求得原函数的单调区间; (Ⅱ)构造辅助函数g(x)=f(2x-a)+f(a)-2f(x),求导后分析f′(x)的单调性,然后对a分类讨论,根据a的范围得到g′(x)的符号并判断g(x)的单调性,由单调性得到a的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)由f(x)=(mx+n)e-x,得 f′(x)=-(mx+n-m)e-x. 依题意,f(1)=e-1,f′(1)=0,即 ,解得m=1,n=0. 所以f(x)=xe-x. f′(x)=-(x-1)e-x. 当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 所以,函数f(x)在(-∞,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减; (Ⅱ)设g(x)=f(2x-a)+f(a)-2f(x),则g′(x)=2[f′(2x-a)-f′(x)]. 设h(x)=f′(x)=-(x-1)e-x,则h′(x)=(x-2)e-x. 当x∈(-∞,2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增. (1)若a≥2,则当x∈(a,+∞)时,2x-a>x,h(2x-a)>h(x),即f′(2x-a)>2f′(x), 所以g′(x)>0,g(x)在(a,+∞)单调递增,此时g(x)>g(a)=0, 即f(2x-a)+f(a)-2f(x)>0. (2)若a<2,则当x∈(a,)时,2x-a>x,h(2x-a)<h(x),即f′(2x-a)<2f′(x), 所以g′(x)<0,g(x)在(a,2)单调递减,此时g(x)<g(a)=0. 综上,a的取值范围是[2,+∞).
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