Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，直线MN交圆O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAMM，交圆0于点D，过D作DE上MN于E．
（I）求证：DE是圆O的切线：
（II）若DE=6，AE=3，求△ABC的面积．

Answer

（I）连结OD，易证∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD，从而可证DE是圆O的切线；
（II）由DE是圆O的切线，可得DE2=EA•EB，而DE=6，AE=3，从而可求得AB；又O到MN的距离等于D到MN的距离等于|BC|，从而可求得△ABC的面积．
【解析】
（Ⅰ）连结OD，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．
因为∠EAD=∠OAD，所以∠ODA=∠EAD．…（2分）
因为∠EAD+∠EDA=90°，所以∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD．
所以DE是圆O的切线．…（4分）
（Ⅱ）因为DE是圆O的切线，所以DE2=EA•EB，
即62=3（3+AB），所以AB=9．                                   …（6分）
因为OD∥MN，
所以O到MN的距离等于D到MN的距离，即为6；
又因为O为AC的中点，C到MN的距离等于12    …（8分）
故△ABC的面积S=AB•BC=54．…（10分）