Question

选修4-4：坐标系与参数方程．
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．己知曲线C₁的极坐标方程为p=4cosθ曲线C₂的参数方程是（t为参数，0≤a＜π），射线与曲线C₁交于极点O外的三点A，B，C．
（I ）求证：；
（II ）当时，B，C两点在曲线C₂上，求m与a的值．

Answer

（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ-），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，=|OA|，命题得证．
（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，-）．再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=-（x-2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．
【解析】
（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ-），…（2分）
则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ-）=2（cosφ-sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，
=|OA|．…（5分）
（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，-）．
化为直角坐标为B（1，），C（3，-）．…（7分）
C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，
又经过点B，C的直线方程为y=-（x-2），故直线的斜率为-，…（9分）
所以m=2，α=．…（10分）