Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=丨x-a丨+|x-1丨，a∈R．
（I ）当a=3时，解不等式 f（x）≤4；
（II）当x∈（-2，1））时，f（x）＞|2x-a-1|．求 a 的取值范围．

Answer

（I ）当a=3时，f（x）=丨x-3丨+|x-1丨=，由 f（x）≤4即可求得不等式 f（x）≤4的解集；
（II）由双绝对值的几何意义可得f（x）=|x-a|+|x-1|≥|x-a+x-1|=|2x-a-1|，分（x-1）（x-a）≥0与（x-1）（x-a）＜0讨论，即可求得当x∈（-2，1）时，f（x）＞|2x-a-1|的 a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵a=3时，f（x）=丨x-3丨+|x-1丨=，
∴当x＜1时，由f（x）≤4得4-2x≤4，解得x≥0；
∴0≤x＜1；
当1≤x≤3时，f（x）≤4恒成立；
当x＞3时，由f（x）≤4得2x-4≤4，解得x≤4．
∴3＜x≤4…（4分）
所以不等式f（x）≤4的解集为{x|0≤x≤4}．…（5分）
（Ⅱ）因为f（x）=|x-a|+|x-1|≥|x-a+x-1|=|2x-a-1|，
当（x-1）（x-a）≥0时，f（x）=|2x-a-1|；
当（x-1）（x-a）＜0时，f（x）＞|2x-a-1|．…（7分）
记不等式（x-1）（x-a）＜0的解集为A，
则（-2，1）⊆A，
故a≤-2，
所以a的取值范围是（-∞，-2]．…（10分）