Question

已知有两个数列{a_n}，{b_n}，它们的前n项和分别记为S_n，T_n，且数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，S_m=26，前m项中数值最大的项的值为18，S_2m=728，又
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（II）若数列{c_n}满足c_n=b_na_n，求数列{c_n}的前n项和P_n．

Answer

（1）数列{an}，建立数列{an}中关于首项a1 和公比q的方程组，解方程组得数列{an}的通项公式（但不要忘记对公比为q是否等于1的讨论），利用求出数列{bn}的通项公式；
（2）可直接利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Pn
（本小题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，∵an＞0，∴q＞0
若q=1时  Sm=ma1S2m=2ma1，此时2Sm=S2m，而已知  Sm=26，S2m=728，∴2Sm≠S2m，∴q=1不成立…（1分）
若q≠1，由得 …（2分）
（1）÷（2）得：1+qm=28∴qm=27…（3分）
∵qm=27＞1∴q＞1   
∴前m项中am最大∴am=18…（4分）
由 得，∴    即
把及qm=27代入（1）式得   
解得q=3  
 把q=3代入得a1=2，所以 …（7分）
由
（1）当n=1时 b1=T1=2
（2）当 n≥2时 =4n-2
∵b1=2适合上式∴bn=4n-2…（9分）
（Ⅱ）由（1）得 
记，dn的前n项和为Qn，显然Pn=4Qn…①∴…..②
…（11分）
①-②得：-2Qn=1+2×31+2×32+2×33+…2×3n-1-（2n-1）×3n
==-2-（2n-2）×3n…（13分）
∴，
即…（14分）