Question

若数列{b_n}：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如数列c_n：若，则数列{c_n}是公差为8的准等差数列．设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．
（Ⅰ）求证：{a_n}为准等差数列；
（Ⅱ）求证：{a_n}的通项公式及前20项和S₂₀．

Answer

（I）由已知数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n，可得an+1+an+2=2（n+1），两式相减可得an+2-an=2．即可得到数列{an}是公差为2的准等差数列．
（II）利用已知an+an+1=2n，即可得出S20=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）=2（1+3+…+19），再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
【解析】
（I）∵数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n，∴an+1+an+2=2（n+1），
∴an+2-an=2．
∴数列{an}是公差为2的准等差数列．
（II）∵an+an+1=2n，
∴S20=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）
=2（1+3+…+19）
=2×
=200．