Question

已知长方形EFCD，．以EF的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．
（Ⅰ）求以E，F为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在（I）的条件下，过点F做直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设，点T坐标为（2，0），若λ∈[-2，-1]，求||的取值范围．

Answer

（Ⅰ）确定E，F，C的坐标，利用椭圆的定义，求出几何量，即可求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，结合配方法，即可求||的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得点E，F，C的坐标分别为（-1，0），（1，0），（1，）．
设椭圆的标准方程是．
则2a=|EC|+|FC|=＞2，∴a=，
∴b2=a2-c2=1
∴椭圆的标准方程是．…（4分）
（Ⅱ）由题意容易验证直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x=ky+1，
代入中，得（k2+2）y2+2ky-1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数关系，得y1+y2=①，y1y2=②，…（7分）
因为，所以且λ＜0，所以将上式①的平方除以②，得，
即=，所以=，
由，
即．
∵=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），
∴=（x1+x1-4，y1+y2）
又y1+y2=，．
故=．…（11分）
令，因为，所以，，=，
因为，所以，．…（13分）