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已知函数g(x)=,f(x)=g(x)-ax. (1)求函数g(x)的单调区间;...

已知函数g(x)=manfen5.com 满分网,f(x)=g(x)-ax.
(1)求函数g(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(3)若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f(x2)+a,求实数a的取值范围.
(1)根据解析式求出g(x)的定义域和g′(x),再求出临界点,求出g′(x)<0和g′(x)>0对应的解集,再表示成区间的形式,即所求的单调区间; (2)先求出f(x)的定义域和f′(x),把条件转化为f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立,再对f′(x)进行配方,求出在x∈(1,+∞)的最大值,再令f′(x)max≤0求解; (3)先把条件等价于“当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤f′(x)max+a”,由(2)得f′(x)max,并把它代入进行整理,再求f′(x)在[e,e2]上的最小值,结合(2)求出的a的范围对a进行讨论:和,分别求出f′(x)在[e,e2]上的单调性,再求出最小值或值域,代入不等式再与a的范围进行比较. (1)【解析】 由得,x>0且x≠1, 则函数g(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞), 且g′(x)=,令g′(x)=0,即lnx-1=0,解得x=e, 当0<x<e且x≠1时,g′(x)<0;当x>e时,g′(x)>0, ∴函数g(x)的减区间是(0,1),(1,e),增区间是(e,+∞), (2)由题意得函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数, ∴f′(x)=-a≤0在(1,+∞)上恒成立, 即当x∈(1,+∞)时,f′(x)max≤0即可, 又∵f′(x)=-a==, ∴当时,即x=e2时,. ∴,得,故a的最小值为. (3)命题“若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立”等价于 “当x∈[e,e2]时,有f(x)min≤f′(x)max+a”, 由(2)得,当x∈[e,e2]时,,则, 故问题等价于:“当x∈[e,e2]时,有”, 当时,由(2)得,f(x)在[e,e2]上为减函数, 则,故, 当时,由于f′(x)=在[e,e2]上为增函数, 故f′(x)的值域为[f′(e),f′(e2)],即[-a,]. (i)若-a≥0,即a≤0,f′(x)≥0在[e,e2]恒成立,故f(x)在[e,e2]上为增函数, 于是,,不合题意. (ii)若-a<0,即0<,由f′(x)的单调性和值域知, 存在唯一x∈(e,e2),使f′(x)=0,且满足: 当x∈(e,x)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(x,e2)时,f′(x)<0,f(x)为增函数; 所以,f(x)min=f(x)=≤,x∈(e,e2), 所以,a≥,与0<矛盾,不合题意. 综上,得.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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