Question

设函数．
（Ⅰ） 当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；
（Ⅱ）求导函数f′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减，从而可得对任意a∈（3，4），恒有，等价于m＞，求出右边函数的值域，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
 当a=1时，f（x）=x-lnx，则f′（x）=
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；
（Ⅱ）f′（x）=
当，即a=2时，，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当，即a＞2时，令f′（x）＜0，得或x＞1；令f′（x）＞0，得
当，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞；令f′（x）＞0，得
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值
∴
∴对任意a∈（3，4），恒有
∴m＞
构造函数，则
∵a∈（3，4），∴
∴函数在（3，4）上单调增
∴g（a）∈（0，）
∴m≥．