Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱CC₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，且AC=BC=CC₁，O为AB₁中点．
（1）求证：CO⊥平面ABC₁；
（2）求直线BC与平面ABC₁所成角的正弦值．

Answer

（1）要证CO⊥平面ABC1，只需证CO垂直于该面中的两条相交直线即可，通过取AB的中点M，连结CM，OM，由AB垂直于面COM得到CO垂直于AB，证明BC垂直于面A1ACC1得到BC垂直于AC1，再由AC1⊥A1C得到AC1⊥平面A1BC，从而有AC1⊥CO，这样得到了CO垂直于平面ABC1内的两条相交直线；
（2）由（1）知CO⊥平面ABC1，设CO与面ABC1的交点为N，连结BN，则∠CBN为BC与平面ABC1所成的角，然后通过求解直角三角形即可得到结论．
（1）证明：如图，
取AB中点M，连结CM、OM，
∵AC=BC，∴CM⊥AB，
又∵OM∥BB1，∴OM⊥AB，
OM∩CM=M，OM，CM⊂平面OCM，
∴AB⊥平面OCM，∴AB⊥CO，
连结A1C，∵BC⊥AC，BC⊥CC1，
∴BC⊥平面A1ACC1，且AC1⊂平面A1ACC1，
∴BC⊥AC1，
又∵A1C⊥AC1，且A1C∩BC=C，A1C，BC⊂平面A1BC，
∴AC1⊥平面A1BC，CO⊂平面A1BC，∴CO⊥AC1，
AB∩AC1=A，又∵AB，AC1⊂平面ABC1，
∴CO⊥平面ABC1；
（2）【解析】
连结MC1交CO于N，连结BN，
∵CO⊥面ABC1，∴∠CBN为BC与平面ABC1所成的角，
令AC=BC=CC1=a，
在Rt△C1CM中，C1C=a，CM=a，
∴MC1=a，
∵CN⊥MC1，∴CN•MC1=CM•CC1，∴CN==a，
∵CB=a，∴Rt△CBN中，sin∠CBN===，
∴直线BC与平面ABC1所成角的正弦值为．