Question

已知a＞0，函数f（x）=ax²-x，g（x）=ln（ax）
（1）若直线y=kx-1与函数f（x）、g（x）相切于同一点，求实数a，k的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（x）成立，若存在，求出实数a的取值集合，不存在说明理由．

Answer

（1）设g（x）的切点（x，ln（ax）），则g′（x）==k=f′（x），及g（x）=kx-1可求得答案；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=ax2-x-ln（ax），则问题等价于h（x）min≥0，h′（x）=，令p（x）=2ax2-x-1，△=1+8a＞0，设p（x）=0有两不等根x1，x2，不妨令x1＜0＜x2，利用导数可求得h（x）min=h（x2）≥0；由p（x2）=0可对h（x2）进行变形，再构造函数，利用导数可判断h（x2）≤0，由此刻求得x2=1，进而求得a值；
解（1）设g（x）的切点（x，ln（ax）），g′（x）==k，
∴g（x）=ln（ax）=kx-1=0，∴ax=1，
设f（x）切点（x，f（x）），f′（x）=2ax-1=k=1，∴a=x=1，
∴a=k=1；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=ax2-x-ln（ax），即h（x）min≥0，
h′（x）=，令p（x）=2ax2-x-1，△=1+8a＞0，
所以p（x）=0有两不等根x1，x2，＜0，不妨令x1＜0＜x2，
所以h（x）在（0，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，
所以h（x2）=0成立，
因为p（x2）=-1=0，所以，
所以h（x2）=0，且=，
令k（x）=，
k′（x）=，所以k（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
所以k（x2）≤k（1）=0，又h（x2）=，所以x2=1代入a，a=1，
所以a∈{1}．