Question

已知函数f（x）=|x-a|-|x-5|，a＞0．
（I）若a=2，求f（x）≥0的解集．
（II）若不等式f（x）≤2x的解集为[5，+∞），求a的值．

Answer

（I）当a=2时，ff（x）≥0可化为|x-2|≥|x-5|，直接求出不等式|x-2|≥|x-5|的解集即可．
（II）由题设知：|x-a|-|x-5|≤2x．下面就a的取值分类讨论，在同一坐标系中作出函数y=f（x）和y=2x的图象，结合图象即可求得 a 的值．
【解析】
（ I） a=2时，f（x）=|x-2|-|x-5|，f（x）≥0，
即|x-2|≥|x-5|，x，所以f（x）≥0的解集[，+∞）．
（ II） f（x）≤2x即|x-a|-|x-5|≤2x ①
（1）a=5时，解①得x≥0，不合题意．
（2）a＞5时，f（x）=

函数图象如图，
∵f（x）≤2x的解集为[5，+∞），
∴直线y=2x过（5，a-5），
∴a-5=10，a=15．
（3）0＜a＜5时，f（x）=
函数图象如下图，不合题意．

综上，a=15．