Question

盒子内装有5张卡片，上面分别写有数字1、1、2、2、2，每张卡片被取到的概率相等．先从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字x，然后放回盒子内搅匀，在从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字y．设．
（1）求随机变量M的分布列和数学期望；
（2）设“函数在区间（2，4）内有且只有一个零点”为事件A，求A的概率P（A）．

Answer

（1）依题意，M的可能取值为2，3，4，根据独立重复试验的公式得到要求的各自的概率，从而得出随机变量M的分布列和数学期望．
（2）对于不同的M值，看函数在区间（2，4）内是否有且只有一个零点，从而得出事件A相当于M=3．再利用（1）的结论即可得出答案．
【解析】
（1）依题意，M的可能取值为2，3，4．
先从盒子中任取1张卡片，然后放回盒子内搅匀，在从盒子中任取1张卡片，基本事件总数为×5=25，
当M=2时，摸出的卡片上分别写着数学1，1．P（M=2）==；
当M=4时，摸出的卡片上分别写着数学2，2．P（M=4）==；
当M=3时，P（M=3）=1-P（M=2）-P（M=4）=．
所以M的分布列：

∴EM=2×+3×+4×=；
（2）∴M的可能取值为2，3，4．
当M=2时，没有零点，不符合要求；
当M=3时，，它的零点分别是2，3，在区间（2，4）内有且只有一个零点，符合要求；
当M=4时，，它的零点分别是，，都不在区间（2，4）内，不符合要求；
∴事件A相当于M=3，由（1）知，
事件A的概率P（A）=P（M=3）=．