Question

如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED为正方形，且所在平面垂直于平面ABC．
（Ⅰ）证明：平面ADE∥平面BCF；  
（Ⅱ）求二面角D-AE-F的正切值．

Answer

（Ⅰ）取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG，则AO⊥BC，利用面面垂直的性质，可得线面垂直，从而可线线平行，进而可得线线平行，利用面面平行的判定，即可得到结论；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定平面ADE、平面AEF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．
（Ⅰ）证明：取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG，则AO⊥BC，
又平面BCED⊥平面ABC，平面BCED∩平面ABC=BC
所以AO⊥平面BCED，
同理FG⊥平面BCED，
所以AO∥FG，
又AO=FG，
所以四边形AOFG为平行四边形，所以AG∥OF，
又DE∥BC，所以平面ADE∥平面BCF．…（6分）
（Ⅱ）【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，
设BC=2，则，D（0，1，2），E（0，-1，2），，，，．
设平面ADE的一个法向量是=（x，y，z），则，∴，∴，
令x=2，得．…（9分）
设平面AEF的一个法向量是=（x′，y′，z），则，∴，∴
令x′=1，得．
所以，
易知二面角D-AE-F为锐二面角，故其余弦值为，所以二面角D-AE-F的正切值为．…（12分）