Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点，若四边形BCON是平行四边形；
（Ⅰ）求AM的长；
（Ⅱ）求sin∠ANC．

Answer

（Ⅰ）连接BM，则平行四边形BCON中证出BC∥MN，由⊙O的切线AM⊥MN得到BC⊥AM，结合C是AM的中点得到△ABM中BM=BA．由MN是⊙O的直径，得∠MBN=90°，因此得到△NAM是等腰直角三角形，故AM=MN=2．
（II）作CE⊥AN于E点，等腰Rt△CEA中算出CE=，Rt△MNC中算出CN=，从而可得Rt△ENC中，．
【解析】
（Ⅰ）连接BM，则
∵MN是⊙O的直径，∴∠MBN=90°，
∵四边形BCON是平行四边形，∴BC∥MN，
又∵AM是⊙O的切线，可得MN⊥AM，∴BC⊥AM，
∵C是AM的中点，∴BC是△ABM的中线，
由此可得△ABM是等腰三角形，即BM=BA，
∵∠MBN=90°，∴∠BMA=∠A=45°，
因此得到Rt△NAM是等腰直角三角形，故AM=MN=2．…（5分）
（Ⅱ）作CE⊥AN于E点，则
由（I），得△CEA是等腰直角三角形，且AC=1
∴，
∵Rt△MNC中，MN=2，MC=1，∴=，
故Rt△ENC中，．…（10分）