Question

半径为R的圆周上任取A、B、C三点，则三角形ABC为锐角三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

法一：三个点在圆上构成三角形，不外乎就三种：钝角三角形，直角三角形和锐角三角形．成钝角三角形和成锐角三角形的概率相同，构成两种三角形的概率和等于成直角三角形的概率．
法二：按逆时针方向依次重新标记三点为A，B，C，设弧AB=x，弧BC=y，弧CA=2π-x-y，根据题意建立关于x，y的约束条件，利用线性质规划的方法求解．
【解析】
法一：任意三个点，连接其中两点，
（1）如果两点的连线在直径上，则与第三点构成的三角形是直角三角形，因为直径平分圆，所以概率为；
（2）如果两点的连线不在直径上，则与第三点构成的三角形，要么是锐角三角形，要么是钝角三角形，所以成钝角三角形和成锐角三角形的概率相同，各是，
法二：如图①，按逆时针方向依次重新标记三点为A，B，C，设弧AB=x，弧BC=y，弧CA=2π-x-y，
显然：，三点组成锐角三角形，则，

作出图形，如图所示．
所求概率等于图②中红色部分（直线x=π，y=π，x+y=π围成三角形）面积除以所有涂色（红色和绿色）部分（x轴，y轴与直线x+y=2π围成三角形）面积，
为=．
故选A．