Question

已知a∈R，函数f（x）=x²|x-a|．
（Ⅰ） 当a=1时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（Ⅱ） 判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer

（Ⅰ）分x≤1，x＞1两种情况讨论去掉绝对值符号，然后解方程f（x）=x即可得到x的集合；
（Ⅱ）按a=0，a≠0两种情况讨论：a=0时易判断函数奇偶性，当a≠0时，令x=±1可判断函数f（x）的奇偶性情况；
（Ⅲ）设此最小值为m，a＞2时求得f′（x）=3x（-x），按在区间[1，2]的右侧、内部两种情况讨论单调性，由单调性可得f（x）的最小值，当2＜a＜3时根据f（1）与f（2）的大小进行讨论；
【解析】
（Ⅰ）由题意，当a=1时，f（x）=x2|x-1|，
当x≤1时，由f（x）=x2（1-x）=x，解得x=0；
当x＞1时，由f（x）=x2（x-1）=x，解得．
综上，所求解集为．
（Ⅱ）可以对a进行如下分类讨论：
（1）当a=0时，f（x）=x2|x|=f（-x），x∈R，显然，函数f（x）是偶函数．
（2）当a≠0时，令x=±1可得：f（1）=|1-a|，f（-1）=|-1-a|=|1+a|
显然f（1）≠f（-1）≠-f（1），
故函数f（x）是非奇非偶函数．
（Ⅲ）设此最小值为m，当a＞2时，在区间[1，2]上，f（x）=ax2-x3，．
（1）若a≥3，在区间（1，2）内f'（x）＞0，从而f（x）为区间[1，2]上的增函数，
由此得m=f（1）=a-1．
（2）若2＜a＜3，则．
当时，f'（x）＞0，从而f（x）为区间[1，a]上的增函数；
当时，f'（x）＜0，从而f（x）为区间[a，2]上的减函数．
因此，当2＜a＜3时，m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2）．
当时，4（a-2）≤a-1，故m=f（2）=4（a-2）；
当时，a-1＜4（a-2），故m=f（1）=a-1．
综上所述，所求函数的最小值m=．