Question

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若a=1，求△ABC的面积S的最大值．

Answer

（1）根据余弦定理关于cosA、cosC的式子代入已知等式，化简整理可得（b+c）（b2+c2-a2）=0，从而得到b2+c2=a2，可得△ABC是以A为直角的直角三角形，所以A=；
（2）根据（1）的结论，得到b2+c2=a2=1，利用基本不等式得到bc≤b2+c2=，结合△ABC的面积S=bc可得当且仅当b=c=时，△ABC的面积的最大值为．
【解析】
（1）由余弦定理，可得cosA=，cosC=，
代入已知等式，得，…（2分）
即=b+，去分母化简得c（a2+b2-c2）=2b2c+b（b2+c2-a2），
整理，得（b+c）（b2+c2-a2）=0，
∵b+c＞0，∴b2+c2-a2=0，…（6分）
因此，b2+c2=a2可得△ABC是以A为直角的直角三角形，得A=．…（8分）
（2）由（1）知b2+c2=a2=1，
又∵b2+c2≥2bc，∴bc≤b2+c2，可得bc≤（当且仅当b=c时取“=”），…（10分）
∵△ABC的面积S=bc，∴S×=，
即当且仅当b=c=时，△ABC的面积的最大值为．…（12分）