已知抛物线C：y2=x，过定点A（x，0），作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一...

已知抛物线C：y²=x，过定点A（x，0） manfen5.com 满分网

，作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）．
（Ⅰ）当点A是抛物线C的焦点，且弦长|PQ|=2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ．求证：点B的坐标是（-x，0）并求点B到直线l的距离d的取值范围．

（1）先求出抛物线的焦点坐标，然后假设直线l的方程为：，将P，Q的坐标设出，联立直线和抛物线方程消去x得到两根之和，然后根据|PQ|的长度得到n的值．（2）先设l：x=my+x（m≠0），再根据对称性得到点M的坐标，联立l与抛物线的方程消去x得到两根之和、两根之积，表示出和根据∥，得到关系式x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2．再代入两根之和、两根之积可证明点B的坐标是（-x，0）．先确定△BMQ为等腰直角三角形，得到kPB=1，再表示出点B到直线l的距离d即可求范围．【解析】（Ⅰ）由抛物线C：y2=x得抛物线的焦点坐标为，设直线l的方程为：，P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得．所以△=n2+1＞0，y1+y2=n．因为，所以．所以n2=1．即n=±1．所以直线l的方程为：或．（Ⅱ）设l：x=my+x（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x2，-y2）．由得y2-my-x=0．因为，所以△=m2+4x＞0，y1+y2=m，y1y2=-x．（ⅰ）设B（xB，0），则．由题意知：∥，∴x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2．即（y1+y2）xB=x1y2+x2y1=y12y2+y22y1=（y1+y2）y1y2．显然y1+y2=m≠0，∴xB=y1y2=-x．∴B（-x，0）．（ⅱ）由题意知：△BMQ为等腰直角三角形，∴kPB=1，即，即．∴y1-y2=1． ∴（y1+y2）2-4y1y2=1．∴m2+4x=1．∴m2=1-4x＞0． ∴．∵，∴． ∴．即d的取值范围是．

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考点分析：

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在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：

	平面几何选讲	极坐标与参数方程	不等式选讲	合计
男同学（人数）	12	4	6	22
女同学（人数）		8	12	20
合计	12	12	18	42

（1）在统计结果中，如果把平面几何选讲和极坐标与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：

	几何类	代数类	合计
男同学（人数）	16	6	22
女同学（人数）	8	12	20
合计	24	18	42

据此统计你是否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？
（2）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和两名数学科代表都在选做“不等式选讲”的同学中．
①求在这名学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；
②记抽取到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
下面临界值表仅供参考：