Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过点A的直线，且∠PAC=∠ABC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果弦CD交AB于点E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求直径AB的长．

Answer

（1）利用切线的判定定理：只要证明∠PAB=90°，又经过半径的外端即可．
（2）设CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，利用相交弦定理可得AE•EB=CE•ED，于是6m2=30k2，得m=5k．由△AEC∽△DEB，可得DB8=3m6k，得出BD=45．由△CEB∽△AED，得BCAD=CEAE．在Rt△ABC，Rt△ADB中，利用勾股定理可得BC2=25m2-64，AD2=25m2-80，即可解出．
（1）证明：AB为直径，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠PAC=∠ABC，∴∠PAC+∠CAB=90°，
∴PA⊥AB，∵AB为直径，∴PA为圆的切线．
（2）设CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，
∵AE•EB=CE•ED，∴6m2=30k2，得m=k．
连接DB，由△AEC∽△DEB，∴，∴BD=．
连接AD，由△CEB∽△AED，得．
在Rt△ABC，Rt△ADB中，BC2=25m2-64，AD2=25m2-80，于是有，
解得m=2，∴AB=AE+EB=10．