Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆C的方程是x²+y²-4x=0，圆心为C．在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C₁：与圆C相交于A，B两点．
（1）求直线AB的极坐标方程；
（2）若过点C（2，0）的曲线C₂：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．

Answer

（1）先利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，再与圆C的方程联立方程组解出交点坐标，从而得到AB的直角坐标方程，最后再将它化成极坐标方程即可；
（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求|CD|：|CE|的值．
【解析】
（1）在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，
极坐标与直角坐标有关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以圆C1的直角坐标方程为x2+y2+4y=0，…（2分）
联立曲线C：x2+y2-4x=0，得或
即不妨令A（0，0），B（3，-），从而直线AB的直角坐标方程为：y=-x，
所以，ρsinθ=-ρcosθ，即tanθ=-，…（4分）
所以直线AB的极坐标方程为θ=-，（ρ∈R）．…（5分）
（2）由（1）可知直线AB的直角坐标方程为：y=-x，…（6分）
依题令交点D（x1，y1）则有，
又D在直线AB上，所以，=-（2+t1），解得t1=-，
由直线参数方程的定义知|CD|=|t1|=，…（8分）
同理令交点E（x2，y2），则有，
又E在直线x=0上，所以2+=0，解得t2=-，
所以|CE|=|t2|=，…（9分）
所以|CD|：|CE|=．…（10分）