Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|．
（1）解不等式：1≤f（x）+f（x-1）≤2；
（2）若a＞0，求证：f（ax）-af（x）≤f（a）．

Answer

（1）利用绝对值不等式的性质可得f（x）+f（x-1）=|x-1|+|x-2|≥1，故只须解不等式f（x）+f（x-1）≤2即可，通过对x分x≤1，1＜x≤2，x＞2三类讨论，去掉绝对值符号，解之即可；
（2）当a＞0时，求得f（ax）-af（x）=|ax-1|-|a-ax|，利用绝对值不等式的性质可得|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=f（a），从而可证结论．
【解析】
（1）由题f（x）+f（x-1）=|x-1|+|x-2|≥|x-1+2-x|=1．
因此只须解不等式f（x）+f（x-1）≤2．…（2分）
当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即≤x≤1．
当1＜x≤2时，原不式等价于1≤2，即1＜x≤2．
当x＞2时，原不式等价于2x-3≤2，即2＜x≤．
综上，原不等式的解集为{x|≤x≤}．…（5分）
（2）由题f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|．
当a＞0时，f（ax）-af（x）
=|ax-1|-|ax-a|
=|ax-1|-|a-ax|
≤|ax-1+a-ax|
=|a-1|
=f（a）．…（10分）