Question

如图：C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD内的射影E落在BD上．
（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求三棱锥C-ABD的体积．

Answer

（Ⅰ）要证平面ACD⊥平面BCD，只要证平面ACD经过平面BCD的一条垂线AD即可，由D是以AB为直径的圆上的点得到AD⊥DB，由CE垂直于底面得到EC垂直于AD，利用线面垂直的判定得到证明；
（Ⅱ）要求三棱锥C-ABD的体积，关键在于求高CE，通过证明三角形DCB为直角三角形，然后利用三角形BCD的面积相等求CE，则三棱锥C-ABD的体积可求．
（Ⅰ）证明：如图，
∵D是以AB为直径的圆上的点，∴AD⊥DB．
∵CE⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，
∴AD⊥CE．
又∵CE∩BD=E，BD⊂平面BCD，
∴AD⊥平面BCD．
∵AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD；
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）可知AD⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AD⊥CD．
∵C是以AB为直径的圆上的点，∴AC⊥CB，又AC=BC，∴△ACB为等腰直角三角形．
∵，∴．
在Rt△ADC中，，∴．
在Rt△ADB中，，∴．
∴CD2+BC2=BD2，∴BC⊥CD．
在Rt△BCD中，BD⊥CE，．
∴．
∴三棱锥C-ABD的体积为．