Question

已知函数g（x）=，f（x）=g（x）-ax（a＞0）．
（I）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅲ）当a≥时，若∃x₁，x₂∈[e，e²]使f（x₁）≤f′（x₂）+a成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）求导函数，利用导数的正负可得函数的单调区间；
（Ⅱ）由函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，可得-a≤0在（1，+∞）上恒成立，求出导函数的最值，即可求实数a的最小值；
（Ⅲ）当a≥时，若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，等价于x∈[e，e2]，使f（x）min≤f′（x）max+a．求出最值，即可确定a的取值范围．
【解析】
函数g（x），f（x）的定义域均为（0，1）∪（1，+∞），且f（x）=（a＞0）
（I）∵，∴x＞e时，g′（x）＞0，0＜x＜e且x≠1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）的单调增区间是（e，+∞），单调减区间为（0，1），（1，e）；
（Ⅱ）∵函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴-a≤0在（1，+∞）上恒成立
∵=+
∴当，即x=e2时，
∴
∴
∴实数a的最小值；
（Ⅲ）当a≥时，若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，等价于x∈[e，e2]，使f（x）min≤f′（x）max+a．
由（Ⅱ）知，x∈[e，e2]，f′（x）max=
当a≥时，可得f（x）在[e，e2]上为减函数，∴f（x）min=f（e2）=
∴
∴，又，故实数a的取值范围