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已知函数g(x)=,f(x)=g(x)-ax(a>0). (I)求函数g(x)的...

已知函数g(x)=manfen5.com 满分网,f(x)=g(x)-ax(a>0).
(I)求函数g(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,求实数a的最小值;
(Ⅲ)当a≥manfen5.com 满分网时,若∃x1,x2∈[e,e2]使f(x1)≤f′(x2)+a成立,求实数a的取值范围.
(I)求导函数,利用导数的正负可得函数的单调区间; (Ⅱ)由函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,可得-a≤0在(1,+∞)上恒成立,求出导函数的最值,即可求实数a的最小值; (Ⅲ)当a≥时,若∃x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立,等价于x∈[e,e2],使f(x)min≤f′(x)max+a.求出最值,即可确定a的取值范围. 【解析】 函数g(x),f(x)的定义域均为(0,1)∪(1,+∞),且f(x)=(a>0) (I)∵,∴x>e时,g′(x)>0,0<x<e且x≠1时,g′(x)<0, ∴函数g(x)的单调增区间是(e,+∞),单调减区间为(0,1),(1,e); (Ⅱ)∵函数f(x)在(1,+∞)上是减函数, ∴-a≤0在(1,+∞)上恒成立 ∵=+ ∴当,即x=e2时, ∴ ∴ ∴实数a的最小值; (Ⅲ)当a≥时,若∃x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立,等价于x∈[e,e2],使f(x)min≤f′(x)max+a. 由(Ⅱ)知,x∈[e,e2],f′(x)max= 当a≥时,可得f(x)在[e,e2]上为减函数,∴f(x)min=f(e2)= ∴ ∴,又,故实数a的取值范围
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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