Question

已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=，则（ ）
A．函数f（x）的值域为[1，4]
B．关于x的方程f（x）-=0（n∈N^*）有2n+4个不相等的实数根
C．当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积为2
D．存在实数x，使得不等式xf（x）＞6成立

Answer

分类讨论：①当1≤x≤时，f（x）=8x-8，；当时，f（x）=16-8x；②当2＜x≤3时，则，此时f（x）==-4=2x-4；
当3＜x≤4时，则，此时f（x）==8-；依此类推：当2n-1≤x≤3•2n-2时，f（x）==25-2n（x-2n-1），
此时，0≤f（x）≤23-n；当3•2n-2＜x≤2n时，f（x）=-25-2n（x-2n），此时，0≤f（x）≤23-n．据此即可判断答案．
【解析】
①当1≤x≤时，f（x）=8x-8，此时，0≤f（x）≤4；当时，f（x）=16-8x，此时，0≤f（x）＜4；
②当2＜x≤3时，则，此时f（x）==-4=2x-4，此时，0≤f（x）≤2；
当3＜x≤4时，则，此时f（x）==8-，此时，0≤f（x）＜2；
…，
依此类推：当2n-1≤x≤3•2n-2时，f（x）==25-2n（x-2n-1），
此时，0≤f（x）≤23-n；当3•2n-2＜x≤2n时，f（x）=-25-2n（x-2n），此时，0≤f（x）≤23-n．
据此可得：函数f（x）的值域为[0，4]，故A不正确；当n=1时，，有且仅有7个不等实数根，不是2×1+4=6个不等实数根，故B不正确；当x∈[2n-1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积S==2，故C正确；xf（x）＞6⇔，由f（x）的图象可得到：当x∈[2n-1，2n]（n∈N*）时，可得：，故D不正确．
综上可知：只有C正确．
故选C．