Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，2a_n+1+3S_n=3n+4（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=λa_n-λ-n²，若b_2n-1＞b_2n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer

（I）由题设知由2an+1+3Sn=3n+4，得2an+3Sn-1=3n+1（n≥2）．两式相减后可化成an+1-1=-（an-1），由此得出数列{an-1}是以1为首项，-为公比的等比数列，从而能求出数列{an}的通项公式．
（II）先由（Ⅰ）得，bn=λ[（-）n-1+1]-λ-n2=λ（-）n-1-n2．由题意得b2n-1＞b2n，可得出λ＞-．最后结合函数的单调性可得实数λ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由2an+1+3Sn=3n+4，得2an+3Sn-1=3n+1（n≥2），
两式相减得2an+1-2an+3（Sn-Sn-1）=3，即2an+1+an=3，（2分）
∴an+1=-an+，则an+1-1=-（an-1），（4分）
由a1=2，又2a2+3S1=7，得a2=，则，
故数列{an-1}是以1为首项，-为公比的等比数列．
则an-1=（a1-1）（-）n-1，
∴an=（-）n-1+1，（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=λ[（-）n-1+1]-λ-n2=λ（-）n-1-n2．
由题意得b2n-1＞b2n，则有λ（-）2n-2-（2n-1）2＞λ（-）2n-1-（2n）2，
即λ（-）2n-2[1-（-）]＞（2n-1）2-（2n）2，
∴λ＞-，（10分）
而-对于n∈N*时单调递减，则-的最大值为-=-2，
故λ＞-2．（12分）