Question

设函数f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0），若f（x）取正值的充要条件是x∈[1，+∞），则a，b满足（ ）
A．ab＞1
B．a-b＞1
C．ab＞10
D．a-b＞10

Answer

由ax-bx＞0，可得函数的定义域为（0，+∞），然后由定义法证函数为增函数，进而可得f（x）≥f（1），只需f（1）＞0，解之可得．
【解析】
由ax-bx＞0，得（）x＞1=（），由于（）＞1，所以x＞0，
故f（x）的定义域为（0，+∞），任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
∴f（x1）=lg（ax1-bx1），f（x2）=lg（ax2-bx2）
而f（x1）-f（x2）=（ax1-bx1）-（ax2-bx2）=（ax1-ax2）+（bx2-bx1）
∵a＞1＞b＞0，∴y=ax在R上为增函数，y=bx在R上为减函数，
∴ax1-ax2＜0，bx2-bx1＜0，∴（ax1-bx1）-（ax2-bx2）＜0，即（ax1-bx1）＜（ax2-bx2）
又∵y=lgx在（0，+∞）上为增函数，∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
一方面，当a-b＞1时，由f（x）＞0可推得，f（x）的最小值大于0，
而当x∈[1，+∞），f（x）＞0，故只需x∈[1，+∞）；
另一方面，当a-b＞1时，由f（x）在[0，+∞）上为增函数，
可知当x∈[1，+∞）时，有f（x）＞f（1）＞0，即f（x）取正值，
故当a-b＞1时，f（x）取正值的充要条件是x∈[1，+∞），
故选B