Question

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁为到定点的距离与到定直线的距离相等的动点P的轨迹，曲线C₂是由曲线C₁绕坐标原点O按顺时针方向旋转30°形成的．
（1）求曲线C₁与坐标轴的交点坐标，以及曲线C₂的方程；
（2）过定点M（m，0）（m＞2）的直线l₂交曲线C₂于A、B两点，已知曲线C₂上存在不同的两点C、D关于直线l₂对称．问：弦长|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用两点间的距离公式和抛物线的定义可知曲线C1为抛物线，由抛物线C1的对称轴、焦点、准线可知：C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，得出即可；
（2）由于曲线C2上存在不同的两点C、D关于直线l2对称，设出直线l2的斜率可得直线CD的方程，与抛物线方程联立，联立根与系数的关系即可得出弦长|CD|，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．
【解析】
（1）设P（x，y），由题意，可知曲线C1为抛物线，并且有，
化简，得抛物线C1的方程为：．
令x=0，得y=0或，
令y=0，得x=0或，
∴曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）和，．
由题意可知，曲线C1为抛物线，过焦点与准线垂直的直线为，化为．
可知此对称轴过原点，倾斜角为30°．
又焦点到的距离为．
∴C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），
由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，设直线l2的方程为y=k（x-m），则直线CD的方程为，
则得y2+4ky-4kb=0，
∴△=16k（k+b）＞0①
∴y1+y2=-4k，y1•y2=-4kb，
设弦CD的中点为G（x3，y3），则y3=-2k，x3=k（b+2k）．
∵G（x3，y3）在直线l2上，-2k=k（bk+2k2-m），即②
将②代入①，得0＜k2＜m-2，
==
设t=k2，则0＜t＜m-2．
构造函数，0＜t＜m-2．
由已知m＞2，当，即2＜m≤3时，f（t）无最大值，所以弦长|CD|不存在最大值．
当m＞3时，f（t）有最大值2（m-1），即弦长|CD|有最大值2（m-1）．