Question

如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AAB=AC=AE=2，，P是BC的中点．
（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．

Answer

（I）取AB的中点F，连接PF，EF．利用三角形的中位线定理可得．再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形EFPD是平行四边形，可得PD∥EF．利用线面平行的判定定理即可得出；
（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
（I）证明：取AB的中点F，连接PF，EF．
又∵P是BC的中点，∴．
∵，ED∥AC，
∴，
∴四边形EFPD是平行四边形，
∴PD∥EF．
而EF⊂平面EAB，PD⊄平面EAB，
∴PD∥平面EAB．
（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．
以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则z轴在平面EACD内．则A（0，0，），B（2，0，0），，．
∴，．
设平面EBD的法向量，由，得，
取z=2，则，y=0．∴．
可取作为平面ABC的一个法向量，
∴===．
即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为．