Question

某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次．
（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；
（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

Answer

（I）由题意可知所得奖品个数最大时是同时抽到4与6，其和为10．从6张卡片依次不放回的抽取2张有种方法，其中抽到2张分别为4和6的方法有种．利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（II）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．其概率计算与（I）解释同理．①两次取得都是奇数，则P（X=0）=；②两次中有一次取得是2，而另一次是奇数，
P（X=2）=；③两次中有一次取得是4，而另一次是奇数，P（X=4）=；④两次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇数，P（X=6）=；
⑤两次取得是2和6，P（X=8）=；⑥由（I）可得P（X=10）=．即可得到分布列．再利用数学期望计算公式即可得出．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大时是同时抽到4与6，其和为10，
从6张卡片依次不放回的抽取2张有种方法，其中抽到2张分别为4和6的方法有种．
依次所求的概率为：．
（Ⅱ）X的可能取值是：0，2，4，6，8，10．其概率计算与（I）解释同理．
①两次取得都是奇数，则P（X=0）==；
②两次中有一次取得是2，而另一次是奇数，P（X=2）=；
③两次中有一次取得是4，而另一次是奇数，P（X=4）==；
④两次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇数，P（X=6）==；
⑤两次取得是2和6，P（X=8）=；
⑥由（I）可得P（X=10）=．
于是可得X的分布列如下：

X 2 4 6 8 10
p

所以．