Question

已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为，过F₁的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF₂的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．

Answer

（Ⅰ）由△MNF2的周长为8，得4a=8，由，得，从而可求得b；
（Ⅱ）分情况进行讨论：由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x，x），B（x，-x），再由A、B在椭圆上可求x，此时易求点O到直线AB的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，知△＞0，由OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，整理后代入韦达定理即可得m，k关系式，由点到直线的距离公式可求得点O到直线AB的距离，综合两种情况可得结论，注意检验△＞0．
【解析】
（I）由题意知，4a=8，所以a=2．
因为，
所以，
所以b2=3．
所以椭圆C的方程为．
（II）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x，x），B（x，-x）．
又A，B两点在椭圆C上，
所以，．
所以点O到直线AB的距离．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
由已知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
所以，．
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0．
所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即．
所以．
整理得7m2=12（k2+1），满足△＞0．
所以点O到直线AB的距离为定值．