Question

设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a₁，a₂，…，a_i，…，a_n）．其中a_i（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自 数组A中不同下标的“元”，则称A=（a₁，a₂，…，a_n）为B=（b₁，b₂，…b_n）的子数组．定义两个数组A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）的关系数为C（A，B）=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．
（Ⅰ）若，B=（-1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
（Ⅱ）若，B=（0，a，b，c），且a²+b²+c²=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
（Ⅲ）若数组A=（a₁，a₂，a₃）中的“元”满足．设数组B_m（m=1，2，3，…，n）含有四个“元”b_m1，b_m2，b_m3，b_m4，且，求A与B_m的所有含有三个“元”的子数组的关系数C（A，B_m）（m=1，2，3，…，n）的最大值．

Answer

（Ⅰ）依据题意中“元”的含义，可知当S=（-1，3）时，C（A，S）取得最大值为2．
（Ⅱ）对0是不是S中的“元”进行分类讨论：①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等，及B中a，b，c三个“元”的对称性，利用平均值不等式计算C（A，S）=（a+b）的最大值，②当0不是S中的“元”时，只须计算C（A，S）=（a+b+c）的最大值即可，最后综上即可得出C（A，S）的最大值．
（Ⅲ）由于Bm=（bm1，bm2，bm3，bm4）满足．及bm1，bm2，bm3，bm4关系的对称性，只需考虑（bm2，bm3，bm4）与（a1，a2，a3）的关系数的情况．下面分情况讨论：当bm1=0时，当时，得出a1bm2+a2bm3+a3bm4的最大值的情况．最后综合得出C（A，Bm）的最大值即可．
【解析】
（Ⅰ）依据题意，当S=（-1，3）时，C（A，S）取得最大值为2．
（Ⅱ）①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等及B中a，b，c三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中a2+b2+c2=1．
由（a+b）2=a2+b2+2ab≤2（a2+b2）≤2（a2+b2+c2）=2，
得 ．
当且仅当c=0，且时，a+b达到最大值，
于是．
②当0不是S中的“元”时，计算的最大值，
由于a2+b2+c2=1，
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．≤3（a2+b2+c2）=3，
当且仅当a=b=c时，等号成立．
即当时，a+b+c取得最大值，此时．
综上所述，C（A，S）的最大值为1．
（Ⅲ）因为Bm=（bm1，bm2，bm3，bm4）满足．
由bm1，bm2，bm3，bm4关系的对称性，只需考虑（bm2，bm3，bm4）与（a1，a2，a3）的关系数的情况．
当bm1=0时，有．==．
即bm1=0，且，，时，a1bm2+a2bm3+a3bm4的最大值为．
当时，，
得a1bm2+a2bm3+a3bm4最大值小于．
所以C（A，Bm）的最大值为（m=1，2，3，…，n）．