Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n．若且S₃=29，则a₁=    ；S_3n=    ．

Answer

通过对a1分4k，4k+1，4k+2，4k+3（k∈N*）讨论，及与已知条件，结合S3=29，即可求出a1；通过求出a1，a2，…，a9，知道：从a4开始数列{an}是一个周期为3的数列，进而即可得到S3n．
【解析】
（1）①若，则a2=2k，a3=k，∴S3=a1+a2+a3=7k=29，不是整数，舍去；
②若a1=4k+1，则a2=3（4k+1）+1=12k+4，a3=6k+2，∴S3=a1+a2+a3=22k+7=29，解得k=1，∴a1=5．
③若a1=4k+2，则，a3=3a2+1=3（2k+1）+1=6k+4，则S3=a1+a2+a3=12k+7=29，解得k=，应舍去；
④若a1=4k+3，则a2=3（4k+3）+1=12k+10，，则S3=a1+a2+a3=22k+18=29，解得k=不是整数，舍去．
综上可得：a1=5
（2）∵a1=5，a2=16，a3=8，∴a4=4，a5=2，a6=1，a7=4，a8=2，a9=1…．
可以看到：从a4开始数列{an}是一个周期为3的数列，即an+3=an，（n≥4）．
因此，当n≥2时，S3n=29+7（n-1）=7n+22，当n=1时，上式也成立，故S3n=7n+22．