Question

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求四面体FBCD的体积；
（Ⅲ）线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论可得AC⊥CF，又CF⊥CD，利用线面垂直的判定定理即可得出FC⊥平面ABCD．利用等腰梯形的性质即可得出△BCD的面积，利用三棱锥的体积公式即可得出；
（Ⅲ）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM．利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．
（Ⅰ）证明：在△ABC中，
∵，AB=2，BC=1，∴AC2+BC2=AB2．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，
∴AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）【解析】
∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．
∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD．
在Rt△ACB中，，∴∠CAB=30°，
∴在等腰梯形ABCD中可得∠ABD=∠CDB=∠CBD=30°，
∴CB=DC=1，
∴FC=1．
∴△BCD的面积S==．
∴四面体FBCD的体积为：．
（Ⅲ）【解析】
线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM，证明如下：
连接CE与DF交于点N，连接MN．
由 CDEF为正方形，得N为CE中点．
∴EA∥MN．
∵MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，
∴EA∥平面FDM．
所以线段AC上存在点M，使得EA∥平面FDM成立．