Question

已知集合．对于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，定义；λ（a₁，a₂，…，a_n）=（λa₁，λa₂，…，λa_n）（λ∈R）；A与B之间的距离为．
（Ⅰ）当n=5时，设A=（1，2，1，2，5），B=（2，4，2，1，3），求d（A，B）；
（Ⅱ）证明：若A，B，C∈S_n，且∃λ＞0，使，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（Ⅲ）记I=（1，1，…，1）∈S₂₀．若A，B∈S₂₀，且d（I，A）=d（I，B）=13，求d（A，B）的最大值．

Answer

（Ⅰ） 当n=5时，直接利用，求得 d（A，B）的值．
（Ⅱ）设A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn），C=（c1，c2，…，cn），则由题意可得∃λ＞0，使得 
 bi-ai=λ（ci-bi），其中i=1，2，…，n，由此计算 d（A，B）+d（B，C）的结果，计算d（A，C）的结果，从而得出结论
（Ⅲ） 根据x，y∈R，则有|x+y|≤|x|+|y|，可得所以   ，等号成立的条件为ai=1，或bi=1，从而得到 d（A，B）≤26，由此可得结论．
（Ⅰ）【解析】
当n=5时，由，
得 d（A，B）=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|5-3|=7，所以 d（A，B）=7．
（Ⅱ）证明：设A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn），C=（c1，c2，…，cn）．
因为∃λ＞0，使，
所以∃λ＞0，使得 （b1-a1，b2-a2，…，bn-an）=λ（（c1-b1，c2-b2，…，cn-bn），
所以∃λ＞0，使得 bi-ai=λ（ci-bi），其中i=1，2，…，n．
所以 bi-ai与ci-bi（i=1，2，…，n）同为非负数或同为负数．
所以 
==．
（Ⅲ） 首先证明如下引理：设x，y∈R，则有|x+y|≤|x|+|y|．
证明：因为-|x|≤x≤|x|，-|y|≤y≤|y|，所以-（|x|+|y|）≤x+y≤|x|+|y|，
即|x+y|≤|x|+|y|．
所以    
=．
上式等号成立的条件为ai=1，或bi=1，所以 d（A，B）≤26．
对于 A=（1，1，…，1，14），B=（14，1，1，…，1），有 A，B∈S20，
且d（I，A）=d（I，B）=13，故d（A，B）=26．
综上，d（A，B）的最大值为26．