Question

设椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：

x	3	-2	4
y	-2	0	-4		-

（1）求C₁、C₂的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C₁交于不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l过抛物线C₂的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），由题意知C2：y2=4x（2分）．设，把点（-2，0）（，）代入得解得，由此可知C2的方程．
（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为x-1=my，设M（x1，y1），N（x2，y2），由．得x1x2+y1y2=0．由消去x，得（m2+4）y2+2my-3=0，然后由根的判别式和根与系数的关系可知假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y-2=0．
【解析】
（1）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，
据此验证5个点知只有（3，）、（4，-4）在统一抛物线上，易求C2：y2=4x（2分）
设，把点（-2，0）（，）代入得解得
∴C2方程为（5分）
（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0）
设其方程为x-1=my，设M（x1，y1），N（x2，y2），
由．得x1x2+y1y2=0（*）（7分）
由消去x，得（m2+4）y2+2my-3=0，△=16m2+48＞0
∴①
x1x2=（1+my1）（1+my2）=1+m（y1+y2）+m2y1y2；
=②（9分）
将①②代入（*）式，得
解得（11分），
∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y-2=0（12分）