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已知函数f(x)=mlnx+(m-1)x(m∈R). (Ⅰ)当m=2时,求曲线y...

已知函数f(x)=mlnx+(m-1)x(m∈R).
(Ⅰ)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)讨论f(x)的单调性;
( III)若f(x)存在最大值M,且M>0,求m的取值范围.
(Ⅰ)当m=2时求出导数f′(x),则切线斜率k=f′(1),f(1)=1,利用点斜式即可求得切线方程; (Ⅱ)先求出函数定义域,在定义域内分m≤0,m≥1,0<m<1三种情况解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可; ( III)分情况进行讨论:当m≤0或m≥1时f(x)单调,最值情况易判断;当0<m<1时,由单调性易求得其最大值,令其大于0,解出即可; 【解析】 (Ⅰ)当m=2时,f(x)=2lnx+x.. 所以f'(1)=3. 又f(1)=1, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y-1=3(x-1),即3x-y-2=0. (Ⅱ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),. 当m≤0时,由x>0知恒成立, 此时f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. 当m≥1时,由x>0知恒成立, 此时f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 当0<m<1时,由f'(x)>0,得,由f'(x)<0,得, 此时f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减. ( III)由(Ⅱ)知函数f(x)的定义域为(0,+∞), 当m≤0或m≥1时,f(x)在区间(0,+∞)上单调,此时函数f(x)无最大值. 当0<m<1时,f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减, 所以当0<m<1时函数f(x)有最大值,最大值. 因为M>0,所以有,解之得. 所以m的取值范围是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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