Question

已知函数f（x）=mlnx+（m-1）x（m∈R）．
（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（ III）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当m=2时求出导数f′（x），则切线斜率k=f′（1），f（1）=1，利用点斜式即可求得切线方程；
（Ⅱ）先求出函数定义域，在定义域内分m≤0，m≥1，0＜m＜1三种情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（ III）分情况进行讨论：当m≤0或m≥1时f（x）单调，最值情况易判断；当0＜m＜1时，由单调性易求得其最大值，令其大于0，解出即可；
【解析】
（Ⅰ）当m=2时，f（x）=2lnx+x．．
所以f'（1）=3．
又f（1）=1，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．
当m≤0时，由x＞0知恒成立，
此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
当m≥1时，由x＞0知恒成立，
此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，
此时f（x）在区间内单调递增，在区间内单调递减．
（ III）由（Ⅱ）知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当m≤0或m≥1时，f（x）在区间（0，+∞）上单调，此时函数f（x）无最大值．
当0＜m＜1时，f（x）在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值．
因为M＞0，所以有，解之得．
所以m的取值范围是．