Question

经过点F （0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C．
（1）求轨迹M的方程；
（2）证明：∠BAD=∠CAD；
（3）若点D到直线AB的距离等于，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．

Answer

（1）设出动圆的圆心坐标，利用动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=-1相切，列出方程化简即可得到所求轨迹方程．
（2）由（1）得y=x2，设D（x，），由导数的几何意义，得直线l的斜率，又A（-x，），设C（x1，），B（x2，）．利用斜率公式得到x1+x2=2x．从而有kAB=-kBC，即可证得∠BAD=∠CAD．
（3）根据条件：点D到直线AB的距离等于，可知∠BAD=45°，将直线AB的方程与x2=-4y联立方程组，解得B点的坐标，求出|AB|，|AC|，最后根据△ABC的面积列出方程，解得x=±3，从而得出直线BC的方程．
【解析】
（1）设圆心坐标为（x，y），由题意动圆经过定点F（0，1），且与定直线：y=-1相切，
所以 =|y+1|，
即（y-1）2+x2=（y+1）2，
即x2=4y．故轨迹M的方程为x2=4y．
（2）由（1）得y=x2，∴y′=x，
设D（x，），由导数的几何意义 得直线l的斜率为kBC=，
则A（-x，），设C（x1，），B（x2，）．
则kBC===x，∴x1+x2=2x．
kAC==，kAB=，
∴kBC+AB=+==0，∴kAB=-kBC．
∴∠BAD=∠CAD．
（3）点D到直线AB的距离等于，可知∠BAD=45°，
不妨设C在AD上方，即x2＜x1，直线AB的方程为：y-=-（x+x），与x2=-4y联立方程组，
解得B点的坐标为（x-4，），∴|AB|=|x-4-（-x）|=2|x-2|
由（2）知，∠CAD=∠BAD=45°，同理可得|AC|=2|x+2|．
∴△ABC的面积为×|x+2|×2|x-2|=20．
解得x=±3．
当x=3时，B（（-1，），KBC=，直线BC的方程为6x-4y+7=0；
当x=-3时，B（（-7，），KBC=-，直线BC的方程为6x+4y-7=0；