Question

某企业计划投资A，B两个项目，根据市场分析，A，B两个项目的利润率分别为随机变量X₁和X₂，X₁和X₂的分布列分别为：

X1	5%	10%
P	0.8	0.2

X2	2%	8%	12%
P	0.2	0.5	0.3

（1）若在A，B两个项目上各投资1000万元，Y₁和Y₂分别表示投资项目A和B所获得的利润，求利润的期望E（Y₁），E（Y₂）和方差D（Y₁），D（Y₂）；
（2）由于资金限制，企业只能将x（0≤x≤1000）万元投资A项目，1000-x万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f（x）的最小值，并指出x为何值时，f（x）取到最小值．

Answer

（1）Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，根据两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2的分布列，可以得到Y1和Y2的分布列，得到分布列，余下的问题只是运算问题，分别求出变量的期望和方差．
（2）由题意知f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和，写出用x表示的方差的解析式，结合二次函数的最值问题，得到结果．
【解析】
（1）由题设可知Y1和Y2的分布列为

Y1 50 100
P 0.8 0.2

Y2 20 80 120
P 0.2 0.5 0.3

--------------（2分）
E（Y1）=50×0.8+100×0.2=60，----------------------------------（3分）
D（Y1）=（50-60）2×0.8+（100-60）2×0.2=400，------------------------（4分）
E（Y2）=20×0.2+80×0.5+120×0.3=80，---------------------------------------（5分）
D（Y2）=（20-80）2×0.2+（80-80）2×0.5+（120-80）2×0.3=1200．-------------------（6分）
（2）
=[x2+3（1000-x）2]=（4x2-6000x+3×106）．--------------------------------（10分）
当时，f（x）=300为最小值．-------------------------------（12分）