Question

已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G、H分别是CE、CF的中点．
（1）求证：平面AEF∥平面BDGH
（2）若平面BDGH与平面ABCD所成的角为60°，求直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．

Answer

（1）平面AEF内两条相交直线EF与OG分别平行平面BDGH内的两条相交直线GH与OG，利用平面与平面平行的判定定理证明即可．
（2）取EF的中点N，建立空间直角坐标系，设AB=2，BF=t，求出B、C、F、H坐标，求出平面BDGH的一个法向量，平面ABCD的法向量，利用向量的数量积，结合二面角的大小，求出t，然后求出直线CF与平面BDGH所成的角的正弦值．
【解析】
（1）G、H分别是CE、CF的中点
所以EF∥GH--------①--------（1分）
连接AC与BD交与O，因为四边形ABCD是菱形，所以O是AC的中点
连OG，OG是三角形ACE的中位线OG∥AE---------②-------3 分
由①②知，平面AEF∥平面BDGH--------------（4分）
（2）BF⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，所以BF⊥平面ABCD---------（5分）
取EF的中点N，ON∥BF∴ON⊥平面ABCD，
建系
设AB=2，BF=t，
则，---------------（6分）
设平面BDGH的法向量为，
所以
平面ABCD的法向量---------------------------（9分）
，所以t2=9，t=3---------------（10分）
所以，
设直线CF与平面BDGH所成的角为θ，
-----------------（12分）