Question

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是抛物线y²=2px（p＞0）上相异两点，Q、P到y轴的距离的积为4且．
（1）求该抛物线的标准方程．
（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．

Answer

（1）由•=0，结合点P，Q在抛物线上，代入坐标后得到y1y2=-4p2，把纵坐标转化为横坐标后利用|x1x2|=4可求得p的值，则抛物线方程可求；
（2）连接PQ，PR分别叫x轴与点E，M，设出E和M的坐标，同时设出PQ，PR所在的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出P，Q，R三点纵坐标的关系，再根据Q是T和R的中点找到E和M的坐标的关系，最终求出P和R纵坐标的乘积，用含有纵坐标的弦长公式写出弦PR长度，代入纵坐标的乘积后利用单调性求最小值．
【解析】
（1）∵•=0，则x1x2+y1y2=0，
又P、Q在抛物线上，故y12=2px1，y22=2px2，
故得+y1y2=0，∴y1y2=-4p2，
∴，
又|x1x2|=4，故得4p2=4，p=1．
所以抛物线的方程为y2=2x；
（2）如图，设直线PQ过点E（a，0）且方程为x=my+a
联立方程组，消去x得y2-2my-2a=0
∴①
设直线PR与x轴交于点M（b，0），则可设直线PR方程为x=ny+b，并设R（x3，y3），
联立方程组，消去x得y2-2ny-2b=0
∴②
由①、②可得
由题意，Q为线段RT的中点，∴y3=2y2，∴b=2a．
又由（Ⅰ）知，y1y2=-4，代入①，可得
-2a=-4，∴a=2．故b=4．
∴y1y3=-8
∴
=．
当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值．