Question

若a_i，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a_i+1，j+1=a_i+1，j+a_i，j（i、j=1，2，3，…，n-1），则=    ．

Answer

依题意，可求得a3，1=3，a3，2=5，a3，3=8，a3，4=12，…由于后一项减去前一项的差构成等差数列，利用累加法即可求得a3，n．最后利用极限公式即可得出答案．
【解析】
依题意，a3，1=3，a3，2=a3，1+a2，1=3+2=5，a3，3=a3，2+a2，2=5+3=8，a3，4=a3，3+a2，3=8+4=12，…
∴a3，2-a3，1=5-3=2，（1）
a3，3-a3，2=8-5=3，（2）
a3，4-a3，3=12-8=4，（3）
…
a3，n-a3，n-1=n，（n-1）
将这（n-1）个等式左右两端分别相加得：
a3，n-a3，1=2+3+…+（n-1）==n2+n-1，
∴a3，n=n2+n-1+3=n2+n+2．
则==．
故答案为：．