Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁B、DC的中点．
（1）求三棱锥E-FCC₁的体积．
（2）求异面直线D₁F与A₁E所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer

（1）根据给出的多面体是正方体，所以三角形ECC1的面积易求，且F点到面ECC1的高可求，把三棱锥E-FCC1的体积转化为三棱锥F-ECC1的体积，直接利用体积公式求解；
（2）取AB的中点G，连接A1G，则∠EA1G即为两异面直线D1F与A1E所成角，在△A1GE中直接利用余弦定理即可求解．
【解析】
（1）由=
因给出的多面体为正方体，
所以FC⊥平面ECC1，且FC=1，
又△ECC1的底CC1=2，高为E到CC1的距离等于2，
所以
==．

（2）如上图，取AB的中点为G，连接A1G，GE
由于A1G∥D1F，所以直线A1G与A1E所成的锐角或直角即为异面直线A1E与D1F所成的角．
在△A1GE中，，，
由余弦定理得，＞0
所以
即异面直线A1E与D1F所成的角的大小为．