Question

在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点
（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；
（2）若k=1，P（6，0），求△PAB的面积；
（3）当k（k∈R且k≠0）变化时，试求一点C（x，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．

Answer

（1）利用椭圆的标准方程和a2=b2+c2，即可得到F及A的坐标，从而得到k的值，即可得到直线l的方程；
（2）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出点A、B的纵坐标，利用即可得到面积；
（3）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，表示出直线AC和BC的斜率，令其和为0解出x即可．
【解析】
（1）由题意a2=18，b2=9得c=3，∴F（3，0），
∵且点A在x轴的上方，得A（0，3），k=-1，．
直线l：，即直线l的方程为x+y-3=0
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当k=1时，直线l：y=x-3
将直线与椭圆方程联立，
消去x得，y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1，
|y1-y2|=4，
∴．
（3）假设存在这样的点C（x，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，由题意得，
直线l：y=k（x-3）（k≠0），消去y得，（1+2k2）x2-12k2x+18（k2-1）=0
△＞0恒成立，
，

=
∴2kx1x2-k（x+3）（x1+x2）+6kx=0，
．
解得x=6，所以存在一点（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．